Question

求∫[-1，1]x^n√（1-x^2）dx详细过程

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

令x＝sint，则dx＝costdt.当x＝-1时，t＝-π/2；当x＝1时，t＝π/2.于是
原积分＝∫(-π/2,π/2)sin^n t cos^2 tdt
＝∫(-π/2,π/2)sin^n t dt
-∫(-π/2,π/2)sin^(n+2) t dt.
当n为奇数时，n+2也是奇数，原积分＝0.
当n为偶数时，n+2也是偶数，有
原积分＝2[(n-1)(n-3)…·3·1/n(n-2)…·4·2 ×π/2-(n+1)(n-1)…·3·1/(n+2)n…·4·2 ×π/2].
注：1. 最后的结果直接利用了同济大学高数教材里积分∫(0,π/2)sin^n x dx的计算结果。这一结果经常可以直接利用，建议熟记。
2. 由于原积分区间是对称区间，当n为偶数时，原积分等于从零到π/2积分的2倍，所以中括号外面有个2。