Question

已知a∈（0，π/4），β∈（0，π），且tan（a-β）=1/2，tanβ=-1/7，则2a-β值

Answer 1

tan2(a-β)=2tan(a-β)/(1-tan^2(a-β))=1/(1-1/4)=4/3
tan(2a-β)=tan[(2a-2β)+β]
=[tan2(a-β)+tanβ]/[1-tan2(a-β)*tanβ]
=(4/3-1/7)/(1+4/21)
=25/25
=1
a∈（0，π/4），β∈（0，π），tanβ=-1/7<0 β∈（π/2，π），
2a∈（0，π/2），-β∈（-π，-π/2），
2a-β∈（-π，0）
2a-β=-3π/4

Answer 2

解：因为tan（a-β）=1/2，所以利用二倍角公式得：
tan2（a-β）=2tan(a-β)/1-tan^2（a-β）=4/3
又因为tanβ=-1/7，所以：
tan(2a-β)=tan[2（a-β）+β]=[tan2（a-β）+tanβ]/1-ttan2（a-β）anβ
=(4/3-1/7)/1+4/3*1/7=1
又tanβ=-1/7>-1/2，β∈（0，π）所以β∈（3π/4，π）
而a∈（0，π/4），所以2a∈（0，π/2），2a-β∈（-π，-π/4），
故2a-β=-3π/4。