Question

已知过原点的直线与函数y=|sinx|(x≥0)的图像有且只有三个交点,α是焦点中横坐标的最大值

则{(1+α^2)sin2α}/2α 的值为____

Answer 1

因为过原点的直线与函数y=|sinx|(x≥0)的图像有且只有三个交点，所以直线与函数y=|sinx|(x≥0)在区间（π，2π）内的图像相切，在区间（π，2π）上，y的解析式为
y=-sinx，故由题意切点坐标为（α，-sinα），由导数知识得切线斜率为-cosα，（y=-sinx的导数为-cosx），所以由点斜式写出切线方程为
y+sinα=-cosα（x--α),推出y=-cosαx+αcosα-sinα
因为直线过原点，所以常数项αcosα-sinα=0，得α=tanα
所以{(1+α^2)sin2α}/2α={(1+（tanα)^2)×2sinαcosα}/2(tanα)
=[(1+（tanα)^2)×2sinαcosα]/2(sinα/cosα)=(1+（tanα)^2)×(cosα)^2
=[1+（sinα)^2/(cosα)^2]×(cosα)^2=(cosα)^2+（sinα)^2=1,故答案为1