Question

已知函数f(x)=alnx–x²＋1 (1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为4x–y＋b=

Answer 1

1)
f'(x)=a/x-2x
f'(1)=a-2,
f(1)=0
故切线为y=(a-2)(x-1)=(a-2)x-(a-2)
4x-y+b=0改写为y=4x+b
因此有a-2=4,
b=-(a-2)
得：a=6,
b=-4
2)f(x)的定义域为x>0
充分性：当a=2时，f'(x)=2/x-2x=2(1-x²)/x,得极大值点x=1,f(1)=0,
所以有f(x)<=0.即充分性成立。
必要性：f'(x)=a/x-2x
若a<=0，则x>0时，f'(x)<0,f(x)单调减，最大值为f(0+)>=1，不符题意；
若a>0,则有极大值点x=√(a/2)，f(√(a/2))=a/2ln(a/2)-a/2+1
记t=a/2,
g(t)=tlnt-t+1,
现求g(t)的取值
由g'(t)=lnt=0得t=1为极小值点,g(1)=0,
所以有g(t)>=0,
仅当t=1时取等号。
因此仅当√(a/2)=1时，f(x)的极大值才等于0，(否则此极大值会大于0,与题意不符）
故有a=2.