Question

用定义证明函数f（x）=x+a/x（a＞0）在（0，根号a）上为减函数，在[ 根号a，正无穷）上为增函数

Answer 1

f(x)=x+a/x
设0<x1<x2<√a
f(x1)-f(x2)
=x1+a/x1-x2-a/x2
=[(x1-x2)x1x2+a(x2-x1)]/(x1x2)
=[(x1-x2)(x1x2-a)]/(x1x2)
因为x1-x2<0；x1x2-a<0；x1x2>0
所以，f(x1)>f(x2)
则，f(x)在(0,√a)上为减函数
同理：
设√a<x3<x4
f(x3)-f(x4)
=x3+a/x3-x4-a/x4
=[(x3-x4)x3x4+a(x4-x3)]/(x3x4)
=[(x3-x4)(x3x4-a)]/(x3x4)
因为x3-x4<0；x3x4-a>0；x3x4>0
所以，f(x3)<f(x4)
则，f(x)在[√a,+∞)上为增函数
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