如图,正方形ABCD中,O是对角线AC、BD的交点,过点O作OE⊥OF,分别交AB、BC于E、F.(1)求证:△OEF是等
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(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,
∴∠ABO=∠ACF=45°,OB=OC,∠BOC=90°,
∴∠FOC+∠BOF=90°,
又∵OE⊥OF,
∴∠EOF=90°,
∴∠EOB+∠BOF=90°,
∴∠EOB=∠FOC,
在△BEO和△CFO中,
∠ABO=∠ACF
OB=OC
∠EOB=∠FOC
,
∴△BEO≌△CFO(ASA),
∴OE=OF,
又∵∠EOF=90°,
∴△DEF是等腰直角三角形;
(2)解∵△BEO≌△CFO(已证),
∴BE=CF=3,
又∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,
∴AB-BE=BC-CF,
即AE=BF=4,
在Rt△BEF中,EF=
BE2+BF2
=
32+42
=5.
∴∠ABO=∠ACF=45°,OB=OC,∠BOC=90°,
∴∠FOC+∠BOF=90°,
又∵OE⊥OF,
∴∠EOF=90°,
∴∠EOB+∠BOF=90°,
∴∠EOB=∠FOC,
在△BEO和△CFO中,
∠ABO=∠ACF
OB=OC
∠EOB=∠FOC
,
∴△BEO≌△CFO(ASA),
∴OE=OF,
又∵∠EOF=90°,
∴△DEF是等腰直角三角形;
(2)解∵△BEO≌△CFO(已证),
∴BE=CF=3,
又∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,
∴AB-BE=BC-CF,
即AE=BF=4,
在Rt△BEF中,EF=
BE2+BF2
=
32+42
=5.
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