Question

已知x的4次方加mx的3次方加nx减16有因式x减1和x减2，求m,n的值？并将这个多项式分解因式

Answer 1

x^4+mx^3+nx-16
=(x^4-16)+(mx^3+nx)
=(x^2+4)(x^2-4)+mx(x^2+n/m)
此时如能合并，则n/m=4或n/m=-4
当n/m=4,原式=（x^2+4)(x^2+mx-4)
x^2+mx-4中，二次项系数等于1，故(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab=x^2+mx-4
而(x-1)(x-2)=x^2-3x+2，与以上推论不符，故n/m=4不成立
∴必然有n/m=-4
此时原式=(x^2-4)(x^2+mx+4)=(x+2)(x-2)(x^2+mx+4)
∵x^2+mx+4必然含有因式x-1
设另一因式等于x-a，则有(x-1)(x-a)=x^2-(a+1)x+a=x^2+mx+4
∴a+1=-ma=4m=-5
∵n/m=-4∴n=20
∴x^4+mx^3+nx-16
=x^4-5x^3+20x-16
=(x^4-16)+(-5x^3+20x)
=(x^2+4)(x^2-4)-5x(x^2-4)
=(x^2-4)(x^2-5x+4)
=(x+2)(x-2)(x-1)(x-4)