Question

若关于x的方程4^x+a2^x+a+1=0有实数解,则A的取值集合?

这道题网上的答案有很多，我觉得都不准，所以希望高人解答。
设2^x=t
t^2+at+a+1=0
2^x＞0，所以t1*t2=a+1>0,即a>-1

t=[-a±根号（a^2-4a-4）]/2>0
解得a<-1

为什么我解的是矛盾的？？

至于a≤2-2倍根号2，我明白
————————————————————————————————————-

谢谢你们所有人的帮助，我还是没想通，所以再等等

Answer 1

解
可设t=2^x. 则t²=4^x, t＞0
原方程就是：t²+at+a+1=0
整理可得：
a(t+1)+(t+1)²-2(t+1)+2=0
2-a=(t+1)+[2/(t+1)]≥2√2
∴a≤2-2√2
即取值范围是：a≤2-2√2

追问

你没看我问的是什么

追答

没有，你的解法不对。
因为你的思路不对。

追问

我的意思是，除了你的那些，为什么不用考虑根大于0

追答

你没有看懂我的解法。
t＞0就是考虑了这个啊。

追问

原方程有解，就是方程的大根是大于0的。
t=[-a+根号（a^2-4a-4）]/2>0

解得，a<-1
-1<2-2√2
所以为什么解不是a<-1

追答

换元，目的就是便于查看。
可设t=2^x. 则t²=(2^x)²=(2²)^x=4^x. 且t＞0.
即可得：t＞0, 2^x=t, 4^x=t²

原方程可化为：t²+at+a+1=0
∵t²+1=(t+1)²-2(t+1)+2, (你展开即可知道是对的。）
∴方程可以继续变形为：
(t+1)²-2(t+1)+2+a(t+1)=0. (∵t＞0,故t+1＞1,方程两边同除以t+1,)
(t+1)+(a-2)+[2/(t+1)]=0
∴2-a=(t+1)+[2/(t+1)].
就是说，原方程最终可等价地化为上面这个形式。
其中，t=2^x,
这个变形，是比较重要的，
有的书上叫“反解”，也有点叫“变量分离”。

题目的条件是：原方程有实数解。
∴必存在实数ξ,满足：(4^ξ)+a(2^ξ)+a+1=0 （只考虑存在，不问几个）
∴由假设t=2^ξ可知，实数t存在，且满足：
2-a=(t+1)+[2/(t+1)]. (其中，t＞0,)
由基本不等式可得：
2-a=(t+1)+[2/(t+1)]≥2√2
即恒有：2-a≥2√2
∴a≤2-2√2.

Answer 2

本题根和判别式与0的关系都要讨论
设2^x=t(t>0)
则有方程
t^2+at+a+1=0
（1）△=a^2-4a-4≥0
即(a-2)^2-8≥0
解得
a≥2+2√2 或 a≤2-2√2
（2）两个根中的小根为
t小=[-a-√（a^2-4a-4）]/2>0 （小根＞0，大根肯定也＞0）
解得 -1＜t＜0

综合（1）（2）得a的取值范围为
-1＜a≤2-2√2

追问

t小=[-a-√（a^2-4a-4）]/2>0 （小根＞0，大根肯定也＞0）
解得 -1＜t＜0

这个我解不出来。。。。

追答

分段讨论
（1）a≥0，无解
（2）a＜0
解得 -1＜t＜0 （你＞-1解出来了，但没有考虑到a＜0）

对不起，我得上班了

Answer 3

有实数解，则 deta = a^2-4(a+1) = (a-2)^2-8 >= 0,
得到: a>=2(1+根号2) 或者a<=2(1-根号2)
t^2+at+a+1 = 0
得到
[-a±根号（a^2-4a-4）]/2>0

得到：
±根号（a^2-4a-4）> a

当 a>0, ±只能取+
a^2-4a-4 > a^2 得到 a<-1, 矛盾

当 a<0, ±取+可以恒成立
此时 t = [-a+根号（a^2-4a-4）]/2
最后: a<=2(1-根号2)

Answer 4

换元 设2^x=t, t>0
t方 at a 1=0
分离系数a=(-t方-1)/(t 1)
再换元 设t 1=m,m>1,t=m-1
a=(-(m-1)方-1)/m=(-m方 2m-2)/m=-(m 2/m) 2小于等于-2根号2 2

追问

你没看我问的是什么

Answer 5

2^x＞0 ∴△＞0且t₁×t₂＜0 此时t^2+at+a+1=0的根为一正一负
或△≥0且 t₁×t₂＞0 t₁＋t₂＞0 此时t^2+at+a+1=0的根为两正

追问

对，那么

t=[-a±根号（a^2-4a-4）]/2>0
的解应不应该考虑？

追答

不用考虑了，前面已经包括了。
或△≥0且 t₁×t₂＞0 t₁＋t₂＞0应该是t₁×t₂≥0 ∵一根＞0 一根＝0的情况也满足

追问

那万一有一个根是小于0 的怎么办

只要有大于0 的根就可以了啊

追答

不会 t₁×t₂≥0 只有t₁、t₂都≥0 或都≤0 若一个小于0 另一个＝0 则 t₁＋t₂＜0
t₁＋t₂＞0这个条件还要了呀

Answer 6

设2^x=t(t>0)
则t^2+at+a+1=0
delta=a^2-4a-4>=0
即(a-2)^2-8>=0
得a>=2根2+2或a<=2-2根2

追问

不是只有判别式不小于0吧。
根大于0，不用考虑吗

追答

哦，要考虑的。不过t=[-a±根号（a^2-4a-4）]/2>0我解出来是a>-1
所以答案应该是a>=2根2+2或-1<a<=2-2根2

追问

不对，没有a>=2根2+2

因为a>=2根2+2或a-1 要取交集

亲，t=[-a±根号（a^2-4a-4）]/2>0你是怎么解的，我怎么解都是a<-1.能给我写一下解方程的过程吗？

追答

诶，我算错了^*^

我知道了，这次确定是对的，想通了
t=[-a±根号（a^2-4a-4）]/2>0解出来确实是a>-1

答案是-1<a<=2-2根2