Question

求洛必达法则推导过程。

Answer 1

关于问题“当x→a时lim
f(x)/F(x)=A(或为无穷大),那么x→a时lim
f'(x)/F'(x)=A(或为无穷大),同样适用于x→0”,
如果说,同样,成立“当x→0时lim
f(x)/F(x)=A(或为无穷大),那么x→0时lim
f'(x)/F'(x)=A(或为无穷大)”,这句明显是对的；
如果说,同样,成立“当x→a时lim
f(x)/F(x)=A(或为无穷大),那么x→0时lim
f'(x)/F'(x)=A(或为无穷大)”,这句就是错的.
关于把结论写成“x→a时
lim
f'(x)/F'(x)=A”的问题,如果要这样写,应该写成“x→a时
lim
f'(x)/F'(x)=A(或为无穷大)”是对的.其实在这种写法中,暗含着：“函数比的极限为某个数或无穷时,导函数之比的极限同样”的意思,所以洛必达法则的结论也写成“x→a时
lim
f'(x)/F'(x)=x→0时
lim
f(x)/F(x)”.两种写法只是形式不同,本质是相同的,即函数比的极限为某个数或无穷时,导函数之比的极限同样”.
关于洛必达法则的推导依据,在大一高等数学课程中有.

Answer 2

微积分学
▓极限的定义:
设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ
，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ
时，对应的函数值f(x)都满足不等式：
|f(x)-a|<ε
那么常数a就叫做函数f(x)当x→x。时的极限
几个常用数列的极限：
an=c
常数列
极限为c
an=1/n
极限为0
an=x^n
绝对值x小于1
极限为0
▓导数：
定义：f'(x)=y'=lim⊿x→0[f(x+⊿x)-f(x)]/⊿x=dy/dx
几种常见函数的导数公式：
①
c'=0(c为常数函数)；
②
(x^n)'=
nx^(n-1)
(n∈q)；
③
(sinx)'
=
cosx；
④
(cosx)'
=
-
sinx；
⑤
(e^x)'
=
e^x；
⑥
(a^x)'
=
(a^x)
*
ina
（ln为自然对数）
⑦
(inx)'
=
1/x（ln为自然对数）
⑧
(log
a
x)'=1/(xlna)
,(a>0且a不等于1)
⑨(sinh(x))'=cosh(x)
⑩(cosh(x))'=sinh(x)
(tanh(x))'=sech^2(x)
(coth(x))'=-csch^2(x)
(sech(x))'=-sech(x)tanh(x)
(csch(x))'=-csch(x)coth(x)
(arcsinh(x))'=1/sqrt(x^2+1)
(arccosh(x))'=1/sqrt(x^2-1)
(x>1)
(arctanh(x))'=1/(1+x^2)
(|x|<1)
(arccoth(x))'=1/(1-x^2)
(|x|>1)
(chx)‘=shx,
（ch为双曲余弦函数）
（shx）'=chx:
（sh为双曲正弦函数）
（3）导数的四则运算法则：
①(u±v)'=u'±v'
②(uv)'=u'v+uv'
③(u/v)'=(u'v-uv')/
v^2
（4）复合函数的导数
复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数（链式法则）：
d
f[u（x）]/dx=（d
f/du）*（du/dx）。
[∫（上限h（x），下限g（x））
f（x）dx]’=f[h（x）]·h'（x）-
f[g（x）]·g'（x）
洛必达法则(l'hospital)：
是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
设
(1)当x→a时，函数f(x)及f(x)都趋于零；
(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及f'(x)都存在且f'(x)≠0；
(3)当x→a时lim
f'(x)/f'(x)存在(或为无穷大)，那么
x→a时
lim
f(x)/f(x)=lim
f'(x)/f'(x)。
再设
(1)当x→∞时，函数f(x)及f(x)都趋于零；
(2)当|x|>n时f'(x)及f'(x)都存在，且f'(x)≠0；
(3)当x→∞时lim
f'(x)/f'(x)存在(或为无穷大)，那么
x→∞时
lim
f(x)/f(x)=lim
f'(x)/f'(x)。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型，否则滥用洛必达法则会出错。当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则失效，应从另外途径求极限。比如利用泰勒公式求解。
②洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等。