Question

x^2*y^2在椭圆中的二重积分怎么算

Answer 1

用极坐标微元变换式。
dxdy=rdrdθ。
注意积分限变化。
由椭圆的参数式方程：x=acosθ；y=bcosθ
那么极轴r的积分限为从0到[(acosθ)^2+(bcosθ)^2]，角θ的积分限为从0到2π。
化为二次积分求解即可，需要用到定积分的一些三角函数积分技巧。
当然也可以直接用直角坐标系化为二次积分求解。不过积分限会变得超级麻烦。

Answer 2

解:
椭圆的斜率为k的切线为
y=kx士根(a^2k^2+b^2)
--->(x^2-a^2)k^2-(2xy)k+(y^2-b^2)=0
因视角为直角即两切线互相垂直,即k1k2=-1
故依韦达定理,得
(y^2-b^2)/(x^2-a^2)=-1
--->x^2+y^2=a^2+b^2
所求轨迹为,圆心为椭圆中心(原点),半径为(a^2+b^2)^(1/2)的圆.