Question

求初中数学所有恒等式变形的题目。。。

Answer 1

1.如果函数f（x）满足两个恒等式：f（-x）+f（x）=0，f（x+2）+f（x）=0，又知当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）=
-
-
．
2.已知x+y+z=xyz，证明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz．
　　分析
将左边展开，利用条件x+y+z=xyz，将等式左边化简成右边．
　　证
因为x+y+z=xyz，所以
　　左边=x(1-z2-y2-y2z2)+y(1-z2-x2+x2z2)+(1-y2-x2+x2y2)
　　　　=(x+y+z)-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2
　　　　=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)
　　　　=xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx)
　　　　=xyz+xyz+xyz+xyz
　　　　=4xyz=右边．
3.已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正数，求证：a=b=c=d．
　　证
由已知可得
a4+b4+c4+d4-4abcd=0，
　　(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0，
　　所以
　　(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．
　　因为(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，所以
　　a2-b2=c2-d2=ab-cd=0，
　　所以
(a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)＝0．
　　又因为a，b，c，d都为正数，所以a+b≠0，c+d≠0，所以
　　a＝b，c=d．
　　所以
　　ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0，
　　所以a＝c．故a=b＝c=d成立
4.已知a+b+c=0，求证
　　2(a4+b4+c4)＝(a2+b2+c2)2．
　　分析与证明
用比差法，注意利用a+b+c=0的条件．
　　左-右=2(a4+b4+c4)-(a2+b2+c2)2
　　　　=a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2
　　　　=(a2-b2-c2)2-4b2c2
　　　　=(a2-b2-c2+2bc)(a2-b2-c2-2bc)
　　　　=[a2-(b-c)2][a2-(b+c)2]
　　　　=(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c)(a+b+c)=0．所以等式成立
5.例10
证明：
　　(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3
　　=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．
　　分析与证明
此题看起来很复杂，但仔细观察，可以使用换元法．令
y+z-2x=a，①
z+x-2y=b，②
x+y-2z=c，③
　　则要证的等式变为
a3+b3+c3=3abc．
　　联想到乘法公式：
　　a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)，所以将①，②，③相加有
　　a+b+c=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0，
　　所以
a3+b3+c3-3abc=0，
　　所以
　　(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3
　　=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．