Question

二重积分问题，对称性？

看图吧，第四题，第一步是怎么个对称法，刚复习，望指点

Answer 1

二重积分的对称性主要是看被积函数与积分区域两个因素，若有对称性，则积分区域必定关于原点对称，如[-t，t]。具体的对称性如下：1、当被积函数在积分区域内是奇函数，则积分关于原点对称，积分为0；2、当被积函数在积分区域内是偶函数，则积分关于坐标轴对称，积分可表示为2倍[-t，0]或2倍[0，t]上的积分。

Answer 2

二重积分轮换对称性，一点都不难

Answer 3

积分域是圆，既对称于 x 轴，又对称于 y 轴，
(x+2y)^2 = x^2+4xy+4y^2, x 的奇函数 4xy 积分为 0
x^2+4y^2 的积分是第 1 象限上积分的 4 倍，则
I = 4∫<0, π/2>dt∫<0, 2>r^2[(cost)^2+4(sint)^2] rdr
= 4∫<0, π/2>[1+3(sint)^2]dt∫<0, 2>r^3dr
= ∫<0, π/2>[5/2-(3/2)cos2t]dt[r^4]<0, 2>
= 16[5t/2-(3/4)sin2t]<0, π/2> = 20π

追问

麻烦看下答案的解法，倒数第二步那个x^2怎么变成的5/2(x^2+y^2)? 我自己用轮换倒是直接得5/2(x^2+y^2)

追答

由于圆对称于 直线 y = x， 则∫∫x^2dxdy = ∫∫y^2dxdy，
5∫∫x^2dxdy = (5/2)∫∫(x^2+y^2)dxdy
自后向前看即得成立。
我的解答没用此步，稍麻烦点。

Answer 4

首先，普通对称性: 当f(x,y)=f(-x,y)时，I=2∫∫D1 f(x,y)dσ, 当f(x,y)=-f(-x,y)时,I=0。
然后看这题∫∫D x^2+y^2+4xydσ=∫∫D x^2+y^2dσ + ∫∫D 4xydσ
因为上面的对称性得∫∫D 4xydσ = 0
所以∫∫D x^2+y^2+4xydσ=∫∫D x^2+y^2dσ

Answer 5

那不是个圆吗，肯定对称，你只要求1/4圆的积分就可以，然后乘以4

追问

答案第一步是对称得到二重积分(x^2+4y^2)dxdy，怎么来的没看懂，是轮换对称的吗