Question

设x,y均为正整数，试证x^2+y+1和y^2+4x+3不可能都为完全平方数

Answer 1

设：x²＋y＋1=M²，y²＋4x＋3=N²
则：
M²－N²=x²－y²＋y－4x－2=x²－4x－(y²－y＋2)
因M²－N²可分解成(M－N)(M＋N)，则：
Q=x²－4x－(y²－y＋2)也可以因式分解，则这个关于x的二次式的判别式应该是完全平方，而：
△=4²＋4(y²－y＋2)=4y²－4y＋24=(2y－1)²＋23，这个不是完全平方，从而得到：
Q不能因式分解，即：M²－N²不能因式分解。
矛盾，从而假设错误。
所以x²＋y＋1和y²＋4x＋3不可能都是完全平方数。

Answer 2

反证法:设x^2+y^2+1=m^2,y^2+4x+3=n^2
1.m^2-n^2=x^2-4x-2=[x-2]^2-6==>
m^2+6=n^2+[x-2]^2

2.完全平方数被4除余数=0或1
==》m^2+6被4除余数=2或3，
n^2+[x-2]^2被4除余数=0，1，2
m^2+6=n^2+[x-2]^2==》
m^2+6被4除余数=2，n^2+[x-2]^2被4除余数=2
==》m^2被4除余数=0，[x-2]^2被4除余数=1
==》x^2被4除余数=1。

3。x^2+y^2+1=m^2==》
y^2被4除余数=2，矛盾。
所以反证法的设错，==》
x^2+y^2+1和y^2+4x+3的值不能同时都是完全平方数。

Answer 3

假设第一个为完全平方数，则有y=2x,第二个为完全平方数，则有y=2x+1，与第一个相违背，故不可能全部为完全平方数。