Question

已知数列[an}满足，a1=1，a2=2，a（n+2）={an+a(n+1)}/2（n∈N*）.

确定最小正数N的值，是n＞N时，绝对值（an-5/3）＜2/9n恒成立.

Answer 1

解：
由a(n+2)=[an+a(n+1)]/2
则a(n+2)-a(n+1)=[an-a(n+1)]/2
可令bn=a(n+1)-an
则b(n+1)=-1/2*bn 即{bn}为等比数列，b1=1,公比-1/2，
所以{bn}的通项公式为 bn=(-1/2)^(n-1)
将{an}代入，即an-a(n-1)=(-1/2)^(n-2)
a2-a1=1
n-1个式子累加可求的通项公式
an=[5+4(-1/2)^n]/3

要使 绝对值（an-5/3）＜2/9n恒成立
必须使 |[5+4(-1/2)^n]/3 -5/3|＜2/9n——我把n当做在分母看待！！！
化简得 1/2^n＜1/6n
解得 n＞4
所以N=4
N的最小值是4时，使n＞N时，绝对值（an-5/3）＜2/9n恒成立

Answer 2

因为：a1=1，a2=2，a（n+2）={an+a(n+1)}/2
所以：a3=3/2,a4=7/4,a5=13/8, ………….
我们发现，1<=an<=2
0<=|an-5/3|<=2/3
2/9n>=2/3
n>=3时，绝对值（an-5/3）＜2/9n恒成立.
所以最小正数N的值是:N=3