Question

求幂级数∑【n=0 to 无穷】[(-1)^n][(1+2n^2)/(2n）!]*x^(2n)的和函数，我很笨的，过程详细些呗

Answer 1

sinx=
∑(-1)^n/(2n+1)!
x^(2n+1)
cosx=∑(-1)^n/(2n)!
x^(2n)
∑(-1)^n[(1+2n^2)/(2n)!]*x^(2n)=
∑(-1)^n1/(2n)!x^(2n)+
0.5∑(-1)^n(2n)/(2n-1)!]*x^(2n)=
(前一个∑从0到无穷，后一个从1到无穷，因为后一个n=0时系数为零，又要保证消了后有意义）
=cosx-0.5∑(-1)^n*[(2n+2)/(2n+1)!]*x^(2n+2)
（此时，∑从0到无穷，用了错项法）
=cosx-0.5∑(-1)^n/(2n)!*x^(2n+2)-0.5∑(-1)^n/(2n+1)!*x^(2n+2)
=cosx-0.5x^2∑(-1)^n/(2n)!*x^(2n)-0.5x∑(-1)^n/(2n+1)!*x^(2n+1)
=(1-x^2/2)cosx-x/2*sinx
cosx和sinx的展式都是应该知道的。
你又知道答案，照此整理就ok了。不知道答案还可能有此一问。
就算不知道答案，其实你看到分母的(2n)!你就该知道是和cosx或sinx有关了（如果是n!则是和e^x有关，其他的大多先导后积，或先积后导，只有含阶乘这类只能用求导是循环的来证），朝这两个整理。也应该知道。