Question

用函数单调性定义证明函数f(x)=x+x分之2在[2,+无穷大)上是增函数

Answer 1

解：设x1,x2为定义域[2,+无穷大)上任意两点，且X1>X2
f(x1)-f(x2)=x1+2/x1-x2-2/x2
=(x1^2+2)/x1-(x2^2+2)/x2
=(x1^2x2+2x2-x2^2x1-2x1)/x1x2
=【x1x2(x1-x2)-2(x1-x2)】/x1x2
=【(x1-x2)(x1x2-2)】/x1x2
因为x1>x2>=2
所以x1-x2>0,x1x2-2>0,x1x2>0
f(x1)-f(x2)>0
所以f(x)在[2,+无穷大)上是增函数

Answer 2

设x1>x2>=2
f(x1)-f(x2)=x1+2/x1-x2-2/x2=(x1-x2)+2(x2-x1)/(x1x2)=(x1-x2)*[1-2/x1x2]=(x1-x2)(x1x2-2)/(x1x2)
由于:x1>x2,则x1-x2>0
x1>2,x2>=2,则x1x2>4,即x1x2-2>0,x1x2>0
所以,f(x1)-f(x2)>0
由
增函数
定义,函数在[2,+无穷)上是增函数.
其实,本题从根号2开始到+无穷就是增的了.

Answer 3

设x1＜x2＜-1
则f（x1）-f(x2)=(x1/x1+1)-(x2/x2+1)=(x2-x1)/(x1+1)(x2+1)
由于x1＜x2＜-1
所以x1-x2＞0，
x1+1＜0，x2+1＜0，既(x1+1)(x2+1)＞0
所以f（x1）-f(x2)＜0则f（x1）＜f(x2)函数在（负无穷，负1）是增函数