Question

已知函数f(x)=x^2-2x-3,递增等差数列{an}中，a1=f(x-1),a2=-3/2,a3=f(x)

求x的值，通项an，a1+a3+a5的值
答案x=3, an=3/2n-9/2, -3/2
要详细过程

Answer 1

解析，
f(x)=x²-2x-3=(x-1)²-4
a1=f(x-1)=x²-4x，
a3=x²-2x-3，
又，an是等差数列，
故，2a2=a1+a3，
因此，-3=2x²-6x-3，解出，x=0,x=3
当x=0时，a1=0>a3=-3，又an是递增的等差数列，因此，舍去。
因此，x=3。
当x=3时，a3=0，d=a3-a2=3/2.
a1+a3+a5=3a3=0,
an=a1+(n-1)d=-3+(n-1)*(3/2)
=3n/2-9/2。

Answer 2

解：
等差数列为递增数列，公差d>0
a1<a2 f(x-1)<-3/2
(x-1)²-2(x-1)-3<-3/2，整理，得x²-4x<-3/2
(x-2)²<5/2
2-√10 /2<x<2+√10 /2
a3>a2 f(x)>-3/2
x²-2x-3>-3/2，整理，得x²-2x>3/2
(x-1)²>5/2 x>1+√10/2或x<1 -√10 /2
综上，得1+√10/2<x<2+√10/2或1-√10/2<x<2-√10/2
数列成等差数列，则2a2=a1+a3
2(-3/2)=(x-1)²-2(x-1)-3+x²-2x-3
整理，得
x²-3x=0
x(x-3)=0
x=0(舍去)或x=3
a1=f(x-1)=f(2)=4-4-3=-3
a3=f(x)=f(3)=9-6-3=0
d=a3-a2=a2-a1=0-(-3/2)=3/2
an=a1+(n-1)d=-3+(3/2)(n-1)=(3n-9)/2=3n/2 -9/2
a1+a3+a5=a3-2d+a3+a3+2d=3a3=0

你提供的参考答案，an是正确的，a1+a3+a5是错误的。

Answer 3

f(x)=(x-1)^2-4
a1=f(x-1)=(x-2)^2-4
a3=(x-1)^2-4
a1+a3=-3
(x-2)^2-4+(x-1)^2-4
=2x^2-6x-3
=-3
2x(x-3)=0
x=0或x=3
x=0 a1=0 a2=-3/2 d=a2-a1=-3/2<0 递减等差数列 舍
x=3 a1=-3
d=a2-a1=3/2
an=a1+(n-1)d
=-3+3n/2-3/2
=3n/2-9/2
a3=0
a1+a3+a5=3a3=0