Question

数列[(-1)^n+1][(n+1)/n]的极限

Answer 1

lim[(n-1)/(n+1)]^n

=lim[(n+1-2)/(n+1)]^n

=lim[1+(-2)/(n+1)]^n

=lim[1+(-2)/(n+1)]^(n+1-1)

=lim[1+(-2)/(n+1)]^(n+1)*1

={lim[1+(-2)/(n+1)]^[(n+1)/(-2)]}^(-2)

根据重要的极限：lim(1+1/n)^n=e=e^(-2)

N的相应性　

一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

Answer 2

简单分析一下即可，答案如图所示

Answer 3

n=2N时，[(-1)^n
+
1][(n+1)/n]
=
[(-1)^(2N)
+
1]/[(2N+1)/(2N)]
=
(2N+1)/N
=
2
+
1/N,
n=2N->无穷大时，N->无穷大，[(-1)^n
+
1][(n+1)/n]
=
2
+
1/N
->
2
n=2N+1时，[(-1)^n
+
1][(n+1)/n]
=
[(-1)^(2N+1)
+
1][(2N+2)/(2N+1)]
=
0.
n=2N+1->无穷大时，[(-1)^n+1][(n+1)/n]
->
0
不等于
2.
因此，n->无穷大时，[(-1)^n+1][(n+1)/n]的极限不存在。

Answer 4

lim
[(n-1)/(n+1)]^n
=lim
[(n+1-2)/(n+1)]^n
=lim
[1+(-2)/(n+1)]^n
=lim
[1+(-2)/(n+1)]^(n+1-1)
=lim
[1+(-2)/(n+1)]^(n+1)
*
[1+(-2)/(n+1)]^(-1)
=lim
[1+(-2)/(n+1)]^(n+1)
*
lim
[1+(-2)/(n+1)]^(-1)
=lim
[1+(-2)/(n+1)]^(n+1)
*
1
=lim
[1+(-2)/(n+1)]^[(n+1)/(-2)
*
(-2)]
=lim
{[1+(-2)/(n+1)]^[(n+1)/(-2)]}^(-2)
={lim
[1+(-2)/(n+1)]^[(n+1)/(-2)]}^(-2)
根据重要的极限：lim
(1+1/n)^n=e
=e^(-2)
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