Question

已知二次函数f（x）=x^2-ax+a（a＞0,x属于R）有且只有一个零点，数列an的前n项和Sn=f（n）（n属于正整数）

已知二次函数f（x）=x^2-ax+a（a＞0,x属于R）有且只有一个零点，数列an的前n项和Sn=f（n）（n属于正整数）⑴求数列an的通项公式⑵设Bn=an/3^n,求数列Bn的前n项和Tn

Answer 1

有且只有一个零点就是图像的顶点纵坐标为0，
(4a-a²)/4=0, a＞0所以 a=4,
Sn=(n-2)², n=1时，a1=S1=1, n=2时,a2=-1,
an=Sn-S(n-1)=(n-2)²-(n-3)²=2n-5,
n=1时，a1=1,
n≥2时，an=2n-5

bn=an/3^n=(2n-5)/3^n,
b1=1/3，
b2=-1/3²,
b3=1/3³,
b4=3/3^4,
...
bn=(2n-5)/3^n,
Tn=1/3 -1/3² +1/3³ +3/3^4+...+ (2n-7)/3^(n-1) + (2n-5)/3^n，
3Tn=1 -1/3+ 1/3² +3/3³ +5/3^4+...+(2n-5)/3^(n-1),
相减得2Tn=1 -1/3 -1/3 +2/3² +2/3³ +2/3^4+...+2/3^(n-1) -(2n-5)/3^n
=-1/3 +2{1/3+1/3²+1/3³+...+1/3^(n-1)} -(2n-5)/3^n
=-1/3+(1-1/3^(n-1)) -(2n-5)/3^n
Tn=1/3 -1/3^(n-1) -(2n-5)/3^n

Answer 2

a^2-4a=0
a=0或a=4
则a=4
f（x）=x^2-4x+4=(x-2)^2
⑴数列an的前n项和Sn=f（n）=(n-2)^2
Sn-S(n-1)=(n-2)^2-(n-3)^2=2n-5
an=2n-5
⑵设Bn=an/3^n=(2n-5)/3^n
B(n-1）=a(n-1)/3^n=(2n-7)/3^（n-1）=(6n-21)/3^n
B(n-2）=a(n-2)/3^n=(2n-9)/3^（n-2）=(18n-81)/3^n
B(n-3）=a(n-3)/3^n=(2n-11)/3^（n-3）=(54n-297)/3^n
Tn={2n[1+3+9+27+3^(n-1)]+5*1+7*3+9*27+(2n+1)*3^(n-1)}/3^n

Answer 3

(1)
f(x) = x^2-ax+a
一个零点
(-a)^2 -4a=0
a(a-4) =0
a=4 or 0 (rejected)
f(x) = x^2-4x+4
Sn= f(n)
= n^2-4n+4 (1)
S(n-1) = (n-1)^2 -4(n-1) + 4 (2)
(1)-(2)
an= 2n-5
(2)
bn=an/3^n
= (2n-5).3^(-n)
= 2. n.3^(-n) -5. 3^(-n)
Tn = b1+b2+..+bn
consider
1+x+..+x^n= (x^(n+1)-1)/(x-1)
1+2x+..+n.x^(n-1)
=[(x^(n+1)-1)/(x-1)]'
= [nx^(n+1) - (n+1).x^n +1 ] /(x-1)^2
multiply both side by x
x+2x^2+..+nx^n = x[nx^(n+1) - (n+1).x^n +1 ] /(x-1)^2
put x= 1/3
1.(1/3) +2(1/3)^2 +... + n(1/3)^n
= (3/4) [ n. (1/3)^(n+1) -(n+1) (1/3) ^n + 1 ]
Tn = b1+b2+..+bn
= (3/2)[ n. (1/3)^(n+1) -(n+1) (1/3) ^n + 1 ] - 5(1/3)(1- (1/3)^n)/(1-1/3)
= (3/2)[ n. (1/3)^(n+1) -(n+1) (1/3) ^n + 1 ] - (5/2)(1- (1/3)^n)

Answer 4

会第一问不会第二问，an有两种情况，当n=1的时候an=1，当n大于等于二的时候an=2n+3