Question

指数函数的极限运算

请比较x-->0时，f(x)=2^x+3^x-2 与x两个无穷小的阶

还有x-->0时，求f(x)=[(a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x) a>0,b>0,c>0的极限

我疯了， 不知道指数函数类的怎么搞，谢谢！
第一题OK，不过我有点疑问
2^x+3^x-2 = e^(x*ln2)-1+e^(x*ln3)-1
x-->0时 lim[(2^x+3^x-2)/x]=lim[(x*ln2+x*ln3)/x] (这一步可以吗，在0/0型上，分子的无穷小在加法时可以用等价的无穷小替代？）
=ln6 能得到相同答案

第二题我算出的答案是(abc)^(1/3)

Answer 1

首先告诉你方法,0/0型未定式求极限一般用洛必达法则.
下面解答
(1) x-->0时,由于lim[f(x)]=0,limx=0,属于0/0型未定式
由洛必达法则可知lim[f(x)/x]=lim[f'(x)/x']
=lim[(2^x+3^x-2)'/x']=lim(2^xln2+3^xln3)
=ln2+ln3=ln6≠0,
所以f(x)=2^x+3^x-2 与x为同阶无穷小.
(2) x-->0时，由于lim[f(x)]=lim[(a^x+b^x+c^x)/3]=1
lim(1/x)=∞,属于1^∞型未定式,将1^∞型转化为0/0型未定式形式,再由洛必达法则求解.lim[f(x)]=lim[(a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x)
=lim{e^[(1/x)ln[(a^x+b^x+c^x)/3]]}
=e^{lim[ln[(a^x+b^x+c^x)/3]/x]}
=e^{lim[[ln[(a^x+b^x+c^x)/3]]'/x']}
=e^(lna+lnb+lnc)
=e^[ln(abc)]
=abc