Question

已知α,β∈(0,π/2),且满足sinβ/sinα=cos(α+β)

（1）求证：tanβ=sinαcosα/1+sin²α
（2）求用tanα表示tanβ的函数关系式
（3）求tanβ的最大值，并求当tanβ取得最大值时tan（α+β）的值

Answer 1

sinβ/sinα=cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
tanβ=sinα﹙cosα-sinαtanβ﹚
tanβ=sinαcosα-sin²αtanβ
tanβ＋sin²αtanβ=sinαcosα
tanβ﹙1＋sin²α﹚=sinαcosα
∴tanβ=sinαcosα/﹙1+sin²α﹚
tanβ=sinαcosα/﹙cos²α+2sin²α﹚
tanβ=tanα／﹙1＋2tan²α﹚
=1／﹙1／tanα+2tanα﹚
≤1／﹙2√2﹚=√2／4
当1／tanα=2tanα即tan²α=1／2亦即tanα=√2／2时取=。
tan（α+β）==﹙√2／2+√2／4／﹙1-√2／2·√2／4﹚=1