Question

二阶微分方程详细过程——两个

Answer 1

第一题：xy''+y'=0
即：dy'/y'=-dx/x
积分得：y'=A/x
再次积分得：y=Aln|x|+B

第二题：令y=a^{2/3}u，代入化简可得：
u''=1/u^2
方程两边同时乘以2u'，积分可得：
(u')^2=-2/u+A=(Au-2)/u
令Au-2=t，代入化简可得：
(t')^2=A^{3}*[t/(2+t)]
开方得：
√[(2+t)/t]dt=±A^{3/2}dx
左边作代换，2/t=(tanθ)^2，然后化简：
-4dθ/(sinθ)^3=±A^{3/2}dx
即：
4dcosθ/[1-(cosθ)^2]^2=±A^{3/2}dx
即：
[(cosθ+2)/(1+cosθ)^2-(cosθ-2)/(1-cosθ)^2]dcosθ=±A^{3/2}dx
过程从略，可得：
cosθ/(sinθ)^2+ln[(1+cosθ)/sinθ]=±(A^{3/2}/2)x+B
再一路带回，便可得到原方程的通解，由于时间关系，就不细写了。