Question

利用柯西准则判别下列级数收敛性：1+1/2-1/3+1/4+1/5-1/6……

Answer 1

解答：
是这样的：对于任意的n，考察上述级数第3n+1项到第6n项的和S，有：
S=1/(3n+1)
+
1/(3n+2)
-
1/(3n+3)
+...+
1/(6n-2)
+
1/(6n-1)
-
1/6n
>
1/(3n+3)
+1/(3n+3)
-
1/(3n+3)
+...+
1/6n
+1/6n
-1/6n
=
1/(3n+3)
+1/(3n+6)
+...+
1/6n
=1/3
*
(1/(n+1)
+
1/(n+2)
+...+
1/2n)
>1/3*
(1/2n
+1/2n
+...+
1/2n)
=
1/3
*
n*1/2n
=1/6
也就是说，根据柯西准则，对于给定的正数ε<1/6，无论n取多大，我们都能找到p=3n，使得上述级数第3n+1项到第3n+p项的和S>1/6>ε，因此级数发散。