已知向量｛a,b,c｝是空间的一个基底.求证:向量a+b,a-b,c能构成空间的...
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分析：根据空间向量基本定理,要证明向量a+b,a-b,c能构成空间一个基底,只要证明这三个向量不共面即可.
证明：因为a,b不共线,
所以a+b与a-b不共线.假设a+b,a-b,c共面,则存在实数x,y,使c=x(a+b)+y(a-b),即c=(x+y)a+(x-y)b.
所以a,b,c共面.这与a,b,c不共面矛盾,从而a+b,a-b,c不共面.
所以a+b,a-b,c可以构成空间的一个基底.
点拨：证明三个向量能构成空间的一个基底,就是证明三个向量不共面,证明三个向量不共面常用反证法并结合共面向量定理来证.
证明：因为a,b不共线,
所以a+b与a-b不共线.假设a+b,a-b,c共面,则存在实数x,y,使c=x(a+b)+y(a-b),即c=(x+y)a+(x-y)b.
所以a,b,c共面.这与a,b,c不共面矛盾,从而a+b,a-b,c不共面.
所以a+b,a-b,c可以构成空间的一个基底.
点拨：证明三个向量能构成空间的一个基底,就是证明三个向量不共面,证明三个向量不共面常用反证法并结合共面向量定理来证.
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