Question

常微分方程 初始条件

请问 为什么偏微分方程有边界条件，但是求解常微分方程的时候就没有，只有初始条件？

Answer 1

首先为什么要有初始条件？
因为方程对时间有导数
解微分方程，从某种意义上来说就是求积分
而我们知道做不定积分的时候会出现一个常数C，
初始条件就是用来定这个C的
其次，有多少阶导数就需要多少个初始条件，因为求有两次导数的微分方程，可以看成需要积分两次，故而有两个待定常数。例如y''=f(y,t), 一般需要两个初始 y(0),y'(0)

说完初始条件，我们来说边界条件
偏微分方程顾名思义指有多种导数，不一定只有t的导数
例如dy/dt+dy/dx=0
此时我们可以认为需要积分两次，对变量t一次，对x一次，所以也有两个待定常数
其中一个与t直接有关，所以需要y(t=0),另一个需要y(x=x0)，一共两个。

再解释初始和边界条件的区别。
其实，初始条件是边界条件的特例
因为边界条件可以指任何地方，可以指定x(-1000),x(20000)
但是初始条件一般必然指t=0，很少会有t=t0>0
但是时间一般不会是负的，这是和边界条件主要的区别。

Answer 2

我觉得可以这么理解：
一方面，由于在联系实际的问题中，偏微分方程所涉及到的自变量通常有时间变量和空间变量，人们为了便于研究区分，把和时间变量相关的已知状态称为初始条件（因为实际问题中往往知道的是起始状态），把和空间变量相关的已知状态称为边界条件（因为实际问题中往往知道或者需要假设的和空间变量相关的状态都是位于空间边界的状态）
另一方面，常微分方程中的初始条件其实也可视为边界条件。
因为偏微分方程涉及的是多元函数，所以边界一般为封闭曲线（二维）或者封闭曲面（三维）或者更高维次的边界形式，而常微分方程都是一元函数，一维中的边界当然就是一个点，也就是所谓的“初始”。