Question

若数列{an}满足a1=2/3,a2=2,3(an+1-2an+an-1)=2,证明数列{an+1-an}是等差数列

Answer 1

证明：令bn=a(n+1)-an
(其中n+1和n都是下标)
则b(n-1)=an-a(n-1)
3(an+1-2an+an-1)=2
a(n+1)-2an+an-1=2/3
a(n+1)-an-an+a(n-1)=2/3
[a(n+1)-an]-[an-a(n-1)]=2/3
bn-b(n-1)=2/3
所以数列{an+1-an}是公差为2/3的等差数列

Answer 2

设bn=a(n+1)-an

则b(n-1)=an-a(n-1)
因为3(an+1-2an+an-1)=2
a(n+1)-an-an+a(n-1)=2/3，用bn代替an
bn-b(n-1)=2/3
b1=a2-a1=4/3
所以数列{an+1-an}是首相为3/4，公差为2/3的等差数列。

Answer 3

3[a(n+1)-2an+a(n-1)]=2
a(n+1)-2an+a(n-1)=2/3
a(n+1)-an-[an-a(n-1)]=2/3，为定值。
a2-a1=2-2/3=4/3
数列{a(n+1)-an}是以4/3为首项，2/3为公差的等差数列