Question

已知函数f(x)=2sinx/4cosx/4+根3cosx/2（1）求函数最小正周期及最值 要三角恒等变换的详细过程

Answer 1

f(x)=2sin（x/4）cos（x/4）+√3cos（x/2）
=sin(x/2)+√3cos(x/2)
=2cos(π/3)sin(x/2)+2sin(π/3)cos(x/2)
=2sin(x/2+π/3),
(1)最小正周期=4π.
最大值=2，最小值=-2.

追问

最值的解答详细过程？

追答

设u=x/2+π/3,则f(x)=2sinu,立知最大值=2，最小值=-2.

Answer 2

解：f(x)=2sin(x/4)cos(x/4)+√3cos(x/2).
=sin(x/2)+√3cos(x/2).
=2[(1/2)sin(x/2)+(√32)cos(x/2)].
=2[sin(x/2)cos(π/3)+cos(x/2)sin(π/3)].
=2sin(x/2+π/3).
最小正周期T=2π/(1/2)=4π.
当sin(x/2+π/3)=1，x/2+π/3=2kπ+π/2,x=4kπ+π/3时，k∈Z,f(x)具有最大值，且(x)max=2；
当sin(x/2+π/3)=-1, x/2+π/3=2kπ+3π/2,x=2(2k+1)π+2π/3时，函数f(x)j具有最小值，且
f(x)min=-2.

追问

最值那里不明白

追答

∵f(x)=2sin(x/2+π/3)中，
-1≤sin(x/2+π/3)≤1.
当sin(x/2+π/3)=1, 即 x/2++π/3=π/2时，sin(π/2)=1.
之所以把 x/2+π/3=2kπ+π/2,是因为三角形函数是周期函数，正弦函数的周期为2kπ,k∈Z.
在没有特别要求函数中角的范围时,正确的角的表达应该写成周期的形式,如sin(x/2+π/3)=1,
即，sin(x/2+π/3)=sin(π/2).
故，x/2+π/3=π/2. x/2=π/2-π/3, x/2=π/6, ---> x=π/3. ---这是最小的应该角。正确的表达是：x/2+π/3=2kπ+π/2. k∈Z.
由于正弦函数是周期函数,故sin[2kπ+(x/2+π/3)]=sin(x/2+π/3).
至于后面的x=....,是由x的等式算出来的。
这样解释如果还不清楚，可以再提出来，我可以随时帮助你。