Question

如果f(x)是偶函数，且f'(x)存在，证明:f'(0)=0这个怎么证明啊？

Answer 1

这个真的不好证，但是有很多种方法理解：
（1）如果f(x)是偶函数，那么其图像必关于y轴对称，不妨设图像与y轴的交点是（0，b）,那么很明显，过（0，b）点作f(x)图像的切线，那么切线肯定要与x轴平行，∴斜率为0，也就是f'(0)=0
(2)也可以这样说，如果f(x)是偶函数，且f'(x)存在，那么f'(x)肯定是奇函数，∴f'(0)=0

Answer 2

f(x)是偶函数,则函数关于y轴对称，又f'(x)存在，则x取所有实数，所以f(0)时函数取极值，所以一定有f'(0)=0，f(0)存在极值

Answer 3

应该用反证法
假设f'(0)≠0，则
f'(0)>0或f'(0)<0
也就是说存在(a，b)
(a<0<b)使f(x)在(a，b)单调增或单调减，与f(x)是偶函数相矛盾
所以f'(0)=0

Answer 4

因为是偶函数所以f(x)=f(-x)，两边求导得f'(x)=-f'(-x)，代入0得f'(0)=-f'(0)，即f'(0)=0