设b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a4
一道线性代数问题设b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a4,b4=a4+a1,证明向量组b1,b2,b3,b4线性相关.希望给出证明过程!...
一道线性代数问题
设b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a4,b4=a4+a1,证明向量组b1,b2,b3,b4线性相关.
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设b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a4,b4=a4+a1,证明向量组b1,b2,b3,b4线性相关.
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反证：b1,b2,b3,b4线性无关：
k1(a1+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3+a4)+k4(a1+a4)=0;
a1(k1+k4)+a2(k1+k2)+a3(k2+k3)+a4(k3+k4)=0;
设a1,a2,a3,a4线性无关,有k1+k4=0,k1+k2=0,k2+k3=0,k3+k4=0；
k1=-k2=k3=-k4;代入消常数得b1-b2+b3-b4=0,线性相关,矛盾,所以假设不成立；即b1,b2,b3,b4线性相关.
k1(a1+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3+a4)+k4(a1+a4)=0;
a1(k1+k4)+a2(k1+k2)+a3(k2+k3)+a4(k3+k4)=0;
设a1,a2,a3,a4线性无关,有k1+k4=0,k1+k2=0,k2+k3=0,k3+k4=0；
k1=-k2=k3=-k4;代入消常数得b1-b2+b3-b4=0,线性相关,矛盾,所以假设不成立；即b1,b2,b3,b4线性相关.
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