Question

已知函数f(x)的定义域为(-2,2),函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x).

(1)求函数g(x)的定义域 (2)若f(x)是奇函数且在定义域内单调递减,求不等式g(x)<=0的解集 过程谢谢

Answer 1

（1）复合函数。
内函数的值域就是外函数的定义域。
则
f（x-1）、f(3-2x)定义在（-2，2）上有意义
则
得
不等式组
-2＜x-1＜2
①
-2
＜3-2x＜2
②
解得、①：
-1＜x＜3
②：2.5＞x＞0.5取交集
2.5＞x＞0.5。
(2)
G(x）≤0
即
F(X-1)+F(3-2X)
≤
0
因为f（x）为奇函数、将F(X-1)、F(3-2X)分别看成是由f（x）在自变量上-1
、+3
得到、不影响函数奇偶性。且
奇+奇=奇
所以
F(X-1)+F(3-2X)为奇函数。
因为
F(x)是减函数、将F(X-1)、F(3-2X)分别看成是由f（x）在自变量上-1
、+3
而得到、不影响
单调性、他们仍在定义域上位减函数。
所以得
F(X-1)+F(3-2X)
≤
0
F(X-1)≤-F(3-2X)
F(X-1)≤F(2X-3)
（这一步利用奇函数性质。）
x-1
≥
2x-3
（利用
减函数性质）
x≤2
从
F(X-1)≤F(2X-3)
到
x-1
≥
2x-3
利用减函数性质的可逆性：
即：
若x1＞x2
而
f（x1）＜
f（x2）则f（x）为减函数。反之成立。
若f（x）为减函数、则
当
f（x1）＜
f（x2）时、
x1＞x2