证明方程x³-4x+2=0在R上至少存在一个正根
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设f(x)=x³-4x+2，令f'(x)=3x²-4=3(x+2/√3)(x-2/√3)=0，得驻点x₁=-2/√3；x₂=2/√3；
当x从x₁的左侧运动到x₁的右侧时，f
'(x)由正变负，因此x₁是极大点；
当x从x₂的左侧运动到x₂的右侧时，f
'(x)由负变正，因此x₂是极小点；
f(x)的极大值=f(-2/√3)=-8/(3√3)+8/(√3)+2=16/(3√3)+2>0;
f(0)=2>0;
f(x)的极小值=f(2/√3)=8/(3√3)-8/(√3)+2=-16/(3√3)+2<0；
可见，f(x)的曲线至少在区间(0，2/√3)内穿过x轴一次，因此f(x)=x³-4x+2=0至少有一个
正根∈（0，2/√3).
当x从x₁的左侧运动到x₁的右侧时，f
'(x)由正变负，因此x₁是极大点；
当x从x₂的左侧运动到x₂的右侧时，f
'(x)由负变正，因此x₂是极小点；
f(x)的极大值=f(-2/√3)=-8/(3√3)+8/(√3)+2=16/(3√3)+2>0;
f(0)=2>0;
f(x)的极小值=f(2/√3)=8/(3√3)-8/(√3)+2=-16/(3√3)+2<0；
可见，f(x)的曲线至少在区间(0，2/√3)内穿过x轴一次，因此f(x)=x³-4x+2=0至少有一个
正根∈（0，2/√3).
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