Question

请教一道数学问题，麻烦好心的各位朋友帮帮忙看下~

问题是这样的：在平面里，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么接下的是一个直角三角形，按照附图所示的边长由勾股定理有：c²=a²+b² 。
现在我们设想：把平面上的正方形换成空间中的正方体，把截线换成如图的截面。这是从正方形截下的直角三角形换成了从正方体截下的三条斜棱锥的三个侧面的面积，用D表示底面三角形LMN的面积，这时空间图形的表面积就相当于平面图形中的边长。现在要问：在立体几何中，和平面几何的勾股定理相类似的定理，将是什么？验证你的猜想。

Answer 1

海伦公式：
假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
而公式里的p为半周长：
p=(a+b+c)/2
设OM=a，ON=b，OL=c， 所以P=(a+b+c)/2

所以底面面积的平方=(a+b+c)/2 * [(b+c-a)/2] * [(b+a-c)/2] * [(a+c-b)/2]
而由于上面三个三角形都是直角三角形
他们的面积的平方之和=(ab/2)^2+(ac/2)^2+(bc/2)^2

各自化为不带括号的多项式，就知道两者相等了。

追问

谢谢，不好意思才回复。但能请你帮忙化简一下这个括号吗？我不才，化了半天也没让
(a+b+c)/2 * [(b+c-a)/2] * [(b+a-c)/2] * [(a+c-b)/2]
=(ab/2)^2+(ac/2)^2+(bc/2)^2 。十分感谢，我太想知道了答案啦！

Answer 2

三个侧面的面积的平方和等于底面面积的平方

追问

谢谢，但我想问下为什么呢？ 具体怎么验证呢？