Question

已知向量a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），且a与b之间满足关系：|ka+b|=√3|a-kb|，其中k＞0

（1）求将a与b的数量积用k表示的解析式f（k）
（2）a能否和b垂直？a能否和b平行？若不能，则说明理由；若能，则求出对应的k值
（3）求a与b夹角的最大值

Answer 1

解：(1)∵a=(cosα，sinα)，b=(cosβ，sinβ)
∴ka=(kcosα，ksinα)，kb=(kcosβ，ksinβ)
又 |ka+b|=√3|a-kb|
∴ |ka|²+|b|²+2kab=3(|a|²+|kb|²-2kab)
∴ k²+1+2k(cosαcosβ+sinαsinβ)=3[1+k²-2k(cosαcosβ+sinαsinβ)]
整理，得
2k²-8kcos(α-β)+2=0
因此，关于k的解析式f(k)= 2k²-8kcos(α-β)+2
(2) 当a⊥b时，a*b=0
即 cos(α-β)=0
则 2k²+2=0 关于k的一元二次方程无解
而 k>0
所以 a与b无可能垂直
当 a∥b时，存在一个实数x(x≠0)，使得
a=xb
所以 cosα=xcosβ，sinα=xsinβ
则 cosα/xcosβ=sinα/sinβ
∴ sin(α-β)=0
∴cos(α-β)=±1
当cos(α-β)=1时，有2k²-8k+2=0，得
k=2±2√3（负值舍去）
当cos(α-β)=-1时，有2k²+8k+2=0，得
k=-2±2√3（负值舍去）
所以 a与吧可平行，此时k为(-2+2√3)或(2+2√3)
(3)∵cos<a,b>=a*b/|a|*|b|
=cos(α-β)
使 <a,b>取得最大值为π
此时cos(α-β)=cos<a,b>=-1
由（2）知，cos(α-β)=-1，关于k的一元二次方程有解，且解为-2+2√3
因此，a与b夹角的最大值为<a,b>=π