Question

设A是n阶矩阵，满足A^2-2A+E=O,则（A+2E)^(-1)=?

Answer 1

小心！！答案不是 3^(-n)*E

【分析】（可用构造法、或待定系数法）
解这类题的基本思路是：首先构造出 (A+2E)(aA+bE) ＝ E，只要两个矩阵的乘积为E，我们就可以说，矩阵（A+2E）可逆，且逆矩阵为（aA+bE）。（其中，a、b为常数）
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【解】（待定系数法）
假设（A+2E）可逆， 且有 (A+2E)(aA+bE) ＝ E ，其中，a、b为常数

化简得， aA² + (2a+b)A + (2b-1)E = O

而，A² - 2A + E = O

待定系数法， 令 k*[A² - 2A + E] = O （k为任意常数）

解方程组
a = 1*k
2a+b = (-2)*k
2b-1 = 1*k
解得，a = k = -1/9，b= 4/9

即，(A+2E)*[ (-1/9)A + (4/9)E ] ＝ E

综上所述， 矩阵(A+2E)可逆，且(A+2E)^-1 ＝ (-1/9)A + (4/9)E

Answer 2

A^2-2A+E=O
A^2-2A*E+E^2=O
(A-E)^2=O
其中一个解A=E
(A+2E)^(-1)=(3E)^(-1)=3^(-n)*E