Question

设函数f(x)=x^2-2lnx,

(1)若定义域内存在x0,使得不等式f(x0)-m<=0成立，求实数m的最小值; (2)g(x)=f(x)-(x-1)^2-x-a在区间[1,4]上恰有两个不同的零点，求a的取值范围

Answer 1

1)定义域为x>0
令
f‘(x)=2x-2/x=0
则
x=1
所以f(x)有最小值
f(1)=1-2ln1=1
故
f(x0)<=m
m的最小值为1
2)令
g’(x)=2x-2/x-2(x-1)-1=1-2/x=0
则x=2
故g(x)在
区间[1,4]上有最小值
g(2)=4-2ln2-1-2-a=1-a-2ln2
同时由于
g(1)=
-a
g(4)=
16-4ln2-9-4-a=3-a-4ln2
g(x)在区间[1,4]上恰有两个不同的零点
g(2)<0
g(1)>0
g(4)>0
计算可得
1-2ln2<a<0