Question

数列的极限的定义问题 在线等 速急

Answer 1

设为一数列Xn，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε
（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|Xn-a|<ε
都成立，那么就称常数a是数列的极限，或者称数列收敛于a，即为Xn=a(n→∞)。

证明方法
[1]
夹逼原理
　　设有数列｛An｝，｛Bn｝和｛Cn｝，满足
An
≤
Bn
≤
Cn,
n∈Z*，如果lim
An
=
lim
Cn
=
a
,

　　则有
lim
Bn
=
a.
[2]单调收敛定理
　　单调有界数列必收敛。[是实数系的重要结论之一，重要应用有证明极限
lim(1+1/n)^n
的存在性]
[3]柯西收敛准则
　　设｛Xn｝是一个数列，如果任意ε>0,
存在N∈Z*,
只要
n
满足
n
>
N
,则对于任意正整数p,都有

　　|X(n+p)
-
Xn
|
<
ε
.
这样的数列｛Xn｝称为柯西数列，

　　这种渐进稳定性与收敛性是等价的。即互为充分必要条件。