Question

如图,∠ABC=∠ACB,AD,BD,CD分别平分△ABC的外角∠EAC,内角∠ABC,外角∠ACF

Answer 1

由三角形的外角性质得，∠eac=∠abc+∠acb=2∠abc，
∵ad是∠eac的平分线，
∴∠eac=2∠ead，
∴∠ead=∠abc，
∴ad∥bc，故①正确，
∴∠adb=∠cbd，
∵bd平分∠abc，
∴∠abc=2∠cbd，
∵∠abc=∠acb，
∴∠acb=2∠adb，故②正确；
∵ad∥bc，
∴∠adc=∠dcf，
∵cd是∠acf的平分线，
∴∠adc=
1
2
∠acf=
1
2
（∠abc+∠bac）=
1
2
（180°-∠acb）=
1
2
（180°-∠abc）=90°-∠abd，故③正确；
由三角形的外角性质得，∠acf=∠abc+∠bac，∠dcf=∠bdc+∠dbc，
∵bd平分∠abc，cd平分∠acf，
∴∠dbc=
1
2
∠abc，∠dcf=
1
2
∠acf，
∴∠bdc+∠dbc=
1
2
（∠abc+∠bac）=
1
2
∠abc+
1
2
∠bac=∠dbc+
1
2
∠bac，
∴∠bdc=
1
2
∠bac，故⑤正确；
∵ad∥bc，
∴∠cbd=∠adb，
∵∠abc与∠bac不一定相等，
∴∠adb与∠bdc不一定相等，
∴bd平分∠adc不一定成立，故④错误；
综上所述，结论正确的是①②③⑤共4个．
故选c．

Answer 2

因为∠ABC=∠ACB，所以∠BAC=180°-2∠ACB。因为AD平分∠EAC,所以∠EAC=2∠DAC=2∠EAD,且∠BAC=180°-∠EAC=180°-2∠DAC，所以有∠DAC=∠ACB，所以有AD∥BC。
因为BD平分∠ABC，所以∠DBC=∠ABD。又因为AD∥BC，所以有∠ADB=∠DBC=∠ABD=½∠ABC=½∠ACB，即∠ACB=2∠ADB。
因为CD平分∠ACF,所以有∠ACD=∠DCF.又因为AD∥BC，所以有∠ADC=∠DCF=∠ACD.且∠ACB=∠ABC=∠ABD,所以∠ADC=∠DCF=180°-∠ACD-∠ACB，则有2∠ADC=180°-∠ACB=180°-2∠ABD,即∠ADC=90°-∠ABD。
因为∠ADC=∠ADB
∠BDC旦粻测救爻嚼诧楔超盲,∠DAC=∠ACB=∠ABC=2∠ADB=2∠ABD，所以△ADC有∠ADB
∠BDC
∠ACD=180°，变换得到2∠ADB
∠BDC=90°，且∠ADB
∠ABD
∠BAD=2∠ADB
∠BAD=180°，所以2∠BDC=∠BAC，则BDC不等于∠BAC。

Answer 3

1正确，因为∠ABC=∠ACB
,∠EAC是三角形ABC的外角
所以∠ACB=1/2∠EAC
又因为AD平分∠EAC
所以∠DAC＝1/2∠EAC
所以∠ACB=∠旦粻测救爻嚼诧楔超盲DAC
所以AD平行BC
2正确
因为AD平行BC
所以∠ADB＝∠DBC＝1/2ABC
又因为ABC＝ACB
所以ADB＝1/2ACB
3正确
4正确
5不正确
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