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设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0,证明:存在ξ属于(0,1),使3
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用罗尔定理证明:
令F(x)=
xf(x)
则
∵
f(x)在(0,1)内可导,在【0,1】上连续,知F(x)在在(0,1)内可导,在【0,1】上连续
∵F(0)=F(1)=0,
由罗尔定理存在一点§∈(0,1),使得F'(§)=0.即§f’(§)+f(§)=0
∴
存在一点§∈(0,1),使§f’(§)+f(§)=0
令F(x)=
xf(x)
则
∵
f(x)在(0,1)内可导,在【0,1】上连续,知F(x)在在(0,1)内可导,在【0,1】上连续
∵F(0)=F(1)=0,
由罗尔定理存在一点§∈(0,1),使得F'(§)=0.即§f’(§)+f(§)=0
∴
存在一点§∈(0,1),使§f’(§)+f(§)=0
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