Question

设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0,证明:存在ξ属于(0,1),使3

Answer 1

用罗尔定理证明：
令F（x）=
xf（x）
则
∵
f（x）在（0,1）内可导,在【0,1】上连续,知F（x）在在（0,1）内可导,在【0,1】上连续
∵F(0)=F(1)=0,
由罗尔定理存在一点§∈（0,1）,使得F'(§)=0.即§f’（§）＋f（§）＝0
∴
存在一点§∈（0,1）,使§f’（§）＋f（§）＝0

Answer 2

证明：
令g(x)=xf(x)，g'(x)=f(x)+xf'(x)
∵f(x)在[0,1]连续，在（0,1）可导
∴g(x)在[0,1]连续，在（0,1）可导
∵g(0)=0，g(1)=f(1)=0
∴根据罗尔中值定理知道，
存在ξ∈（0,1）使得g'(ξ)=0
∴g'(ξ)=f(ξ)+ξf'(ξ)=0
∴f'(ξ)=-f(ξ)
/ξ
命题得证