Question

判断级数∑(∞ n=1)1/1+a^n的敛散性？(a>0)

求详细过程呀谢谢

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

当0<a<=1时，级数项不趋于0，所以不收敛
当a>1时，1/（1+a^n) < 1/a^n,而1/a^n收敛于（1/a)/(1-1/a)=1/(a-1),所以级数收敛

追问

老师，我看了您的过程还是不怎么懂😢可以再详细一点吗

追答

这已经够详细了，你不说哪步不懂没法细化

追问

0<a<=1 级数项为什么不趋于0

a>1 算出1/a-1怎么判定是收敛

追答

a^n趋于0，1/(1+a^n)不是趋于1么？
正项级数有上限(1/(a-1))肯定收敛啊，这不是定理么？

Answer 3

∞ ∞ ∞
∑ (1/1+a^n )<=∑ (1/a^n )=∑ (1/a)^n
n=1 n=1 n=1
（1）当a>1时，根据等比数列级数，q=1/a<1，收敛
(2)当0<=a<1时，1/1+a^n不趋向于0，发散