Question

6、设正整数m，n满足m < n，且 1/(m^2+m)+1/[(m+1)^2+(m+1)]+....+

Answer 1

1/m-1/(n+1)
=(n-m+1)/[m(n+1)]
=1/23;
整理得到
23(n+1-m)=m(n+1);
23(n+1)-23m=m(n+1);
m=23(n+1)/(n+24)……(1)，
因为m是正整数，故
23(n+1)=k(n+24);
23n+23=kn+24k;
(23-k)n=24k-23……(2);
因为m<n,所以由(1)得到23(n+1)/(n+24)<n;
即有
n^2+24n>23n+23;
n^2+n-23>0;
解得
n>[-1+根号(93)]/2
>
[-1+9]/2=4,
即n>=5.
另一方面，k不能取奇数，因为当k为奇数时，23-k为偶，(23-k)n为偶，而此时(2)式右边为奇，所以等式无法成立。
所以k只能取
6,8,10,12,14,16,18,20,22
而容易观察k只能取22。
实际上23-k只能是1才能保证24k-23能整除23-k。
比如，若k=20,
23-k=3;
而右边24*3-23中23不含因子3，所以不能整除左边。
若k=18,
23-18=5;
而右边24*18-23中均不含因子5，所以不能整除左边。
同理容易看出其他也不行。所以k=22.
所以k=22.
n=505,
此时m=22.
m+n=527.