Question

已知f(x)=a*2^x-1/1+2^x是上的奇函数，解不等式f^-1(x)>log2 (1+x)/k

Answer 1

∵f(x)为奇函数
∴f(-x)=-f(x)
即[a×2^(-x)-1]/[1+2^(-x)]=-[(a×2^x-1)/(1+2^x)]
(a-2^x)//(2^x+1)=-[(a×2^x-1)/(1+2^x)]
(a-1)(2^x+1)=0
∴a=1
∴f(x)=(2^x-1)/(2^x+1)
∴f'(x)=log2(1+x)/(1-x)
∵f'(x)>log2(1+x)/k
即log2(1+x)/(1-x)
>log2(1+x)/k
∴(1+x)/(1-x)>(1+x)/k
(1)
又∵(1+x)/(1-x)
>0和(1+x)/k>0
∴k>0且-1<x<1
(2)
由(1)(2)得：1-k<x且-1<x<1
当-1<1-k<1即0<k<2时，1-k<x<1
当1-k≤-1即k≥2时，-1<x<1
∴不等式f'(x)>log2(1+x)/k的解为
当0<k<2时为1-k<x<1或当k≥2时为-1<x<1