用比较判别法或比较判别法的极限形式判断n/(3^n)的敛散性
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极限形式：
an
=
ln(1+1/n^2)
bn
=
1/n^2
lim
an/bn
=
lim(
ln(1+1/n^2)/(1/n^2)
)
=
1
所以有比较判别法的极限形式知：
∑an
与
∑bn
有相同的敛散性
而
∑bn
是收敛的，所以
∑an
也收敛。
注意，上面求极限用到
等价无穷小：ln(1+x)
~
x，当x->0。
an
=
ln(1+1/n^2)
bn
=
1/n^2
lim
an/bn
=
lim(
ln(1+1/n^2)/(1/n^2)
)
=
1
所以有比较判别法的极限形式知：
∑an
与
∑bn
有相同的敛散性
而
∑bn
是收敛的，所以
∑an
也收敛。
注意，上面求极限用到
等价无穷小：ln(1+x)
~
x，当x->0。
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湛云科技
2025-08-14 广告
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和1/(3/2)^n比较
比较判别法的极限形式
lim[n/(3^n)]/[1/2^n]
=lim
n/2^n
=lim
x->无穷
x/2^x
无穷除无穷，洛必达
=lim
x->无穷
1/2^xln2
=0
而几何级数1/(3/2)^n收敛
所以n/3^n收敛
比较判别法的极限形式
lim[n/(3^n)]/[1/2^n]
=lim
n/2^n
=lim
x->无穷
x/2^x
无穷除无穷，洛必达
=lim
x->无穷
1/2^xln2
=0
而几何级数1/(3/2)^n收敛
所以n/3^n收敛
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