Question

已知函数f(x)=x+lnx–ax 若f(x)在(0，1) 上是增函数，求a的取值范围

Answer 1

解：（1）f'（x）=2x+
1

x

-a，（1分）
∵f（x）在（0，1）上是增函数，
∴2x+
1

x

-a＞0在（0，1）上恒成立，即a＜2x+
1

x

恒成立．
∵2x+
1

x

≥2

2

（当且仅当x=
2

2

时取等号），所以a＜2

2

．（4分）
当a=2

2

时，易知f（x）在（0，1）上也是增函数，所以a≤2

2

．（5分）
（2）设t=ex，则h（t）=t2+|t-a|，
∵x∈[0，ln3]，∴t∈[1，3]．（7分）
当a≤1时，h（t）=t2+t-a，在区间[1，3]上是增函数，所以h（t）的最小值为h（1）=2-a．（9分）
当1＜a≤2

2

时，h（t）=

t2−t+a

1≤t＜at2+t−a

a≤t≤3

．
因为函数h（t）在区间[a，3]上是增函数，在区间[1，a]上也是增函数，所以h（t）在[1，3]上为增函数，
所以h（t）的最小值为h（1）=a．（14分）
所以，当a≤1时，g（x）的最小值为2-a；当1＜a≤2

2

时，g（x）的最小值为a．（15分）