在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n.(Ⅰ)设bn=an2n-1....
在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n.(Ⅰ)设bn=an2n-1.证明:数列{bn}是等差数列;(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn....
在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n. (Ⅰ)设bn=an2n-1.证明:数列{bn}是等差数列; (Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn.
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解答:解:由an+1=2an+2n.两边同除以2n得
an+1
2n
=
an
2n-1
+1
∴
an+1
2n
-
an
2n-1
=1，即bn+1-bn=1
∴{bn}以1为首项，1为公差的等差数列
(2)由(1)得
an
2n-1
=1+(n-1)×1=n
∴an=n•2n-1
Sn=20+2×21+3×22+…+n•2n-1
2Sn=21+2×22+…+(n-1)•2n-1+n•2n
∴-Sn=20+21+22+…+2n-1-n•2n
=
1-2n
1-2
- n•2n=(1-n)•2n-1
∴Sn=(n-1)•2n+1
an+1
2n
=
an
2n-1
+1
∴
an+1
2n
-
an
2n-1
=1，即bn+1-bn=1
∴{bn}以1为首项，1为公差的等差数列
(2)由(1)得
an
2n-1
=1+(n-1)×1=n
∴an=n•2n-1
Sn=20+2×21+3×22+…+n•2n-1
2Sn=21+2×22+…+(n-1)•2n-1+n•2n
∴-Sn=20+21+22+…+2n-1-n•2n
=
1-2n
1-2
- n•2n=(1-n)•2n-1
∴Sn=(n-1)•2n+1
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