Question

已知cos(α-β/2)=-1/9,sin(α/2-β)=2/3,且α∈(π/2,π),β∈(0,π),求cos(α+β）的值

Answer 1

解∵ α∈(π/2,π)，β∈(0,π), ∴α-β/2∈(0，π)
又cos(α-β/2)=-1/9<0
∴ π/2<α-β/2<π
∴ sin(α-β/2)=√【1-cos²(α-β/2)】=√80/9=4√5/9；
∵α∈(π/2,π),β∈(0,π),
∴α/2-β∈(-3π/4,π/2)
又sin(α/2-β)>0
∴ 0<α/2-β<π/2
∴ cos(α/2-β)=√【1-sin²(α/2-β)】=√5/3
∵ cos(α/2+β/2)=cos[(α-β/2)-(α/2-β)]=cos(α-β/2)cos(α/2-β)+sin(α-β/2)sin(α/2-β)
=（-1/9）X(√5/3)+(4√5/9)X(2/3)
=8√5/27-√5/27
=7√5/27
∴ cos(α+β）=2cos²[(α+β)/2]-1
=490/729-1
=-239/729

追问

cos(a+b)=cosacosb-sinasinb吧

追答

是的！但是 cos(a-b)=cosacosb+sinasinb
所以cos[(α-β/2)-(α/2-β)]=cos(α-β/2)cos(α/2-β)+sin(α-β/2)sin(α/2-β)

追问

cos(α/2+β/2)为什么等于cos[(α-β/2)-(α/2-β)]呢

追答

(α-β/2)-(α/2-β)=α-β/2-α/2+β=α/2+β/2.
注意把（α-β/2）看成a；(α/2-β）看成b，cos(a-b)=cosacosb+sinasinb这个公式就不难理解了，很多时候要学会换元或是代数思想。另外等式的恒等变形也很重要！

Answer 2

cos(α-β/2)=-1/9
因为α∈(π/2,π),β∈(0,π),
所以α-β/2∈(0，π)
sin(α-β/2)=√1-cos^2(α-β/2)=√80/9
sin(α/2-β)=2/3
因为α∈(π/2,π),β∈(0,π),
所以α/2-β∈(-3π/4,π/2) 又sin(α/2-β)>0 所以α/2-β∈(-π/2,π/2)
cos(α/2-β)=√1-sin^2(α/2-β)=√5/3
cos(α/2+β/2)=cos[(α-β/2)-(α/2-β)]=cos(α-β/2)cos(α/2-β)-sin(α-β/2)sin(α/2-β)
=-1/9*√5/3-√80/9*2/3=-5√5/27
cos(α+β)=2cos^2(α/2+β/2)-1=250/27^2-1=......
没有带笔，自己算一下就可以啦~~~

追问

cos(α/2+β/2)=cos[(α-β/2)-(α/2-β)]这个不懂