Question

已知关于x的二次函数y=x²-mx+二分之m²+1与y=x²-mx-二分之m²+2，这两个二次函数

的图像中的一个与x轴交于A、B两个不同的点
1）是判断哪个二次图像可能经过A、B两点
2）若A点坐标为（-1,0），试求出B点坐标
3）在（2）的条件下，对于经过A、B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小
要过程

Answer 1

解（1）由题目所给方程可知两函数开口向上有最低点，
根据顶点坐标：(-b/2a,(4ac-b²)/4a)
对于y=x²-mx+(m²+1)/2 ，
最低点纵坐标y=(4ac-b²)/4a=(m²+1)/2+m²/4=3/4m²+1/2>0 恒成立
所以该函数图像在X轴上方与X轴无交点，即该函数不可能经过A、B两点。
同理对于y=x²-mx-(m²+2)/2，
最低点纵坐标y=(4ac-b²)/4a=-(m²+2)/2+m²/4=-1/4m²-1<0 恒成立
所以该函数图像与X轴必有两个交点，所以该二次图像可能经过A、B两点。
（2）将A（-1,0）代入函数y=x²-mx-(m²+2)/2，
则 ：0=1+m-m²/2-1
有：m²-2m=0
（m-2)m=0
所以m=2 或者m=0
①当m=0时，y=x²-1,令y=0，得x²=1，即x=1或x=-1，所以B点坐标为（1,0）。
②当m=2时，y=x²-2x-3,令y=0，得(x-3)(x+1)=0，即x=3或x=-1，所以B点坐标为（3,0）。
（3）y‘=2x-m, 因为y的值随x值的增大而减小，所以y’<0
①当m=0时，y‘=2x<0,即x<0.
②当m=2时，y‘=2x-2<0,即x<1.