Question

(x^n)'=?

Answer 1

(x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*)；
导数定义：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域N(x0,δ)内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(设x0+△x∈N(x0,δ))，函数y=f(x)相应的增量为△y=f(x0+△x)-f(x0).
　　如果当△x→0时，函数的增量△y与自变量的增量△x之比的极限lim △y/△x=lim [f(x0+△x)-f(x0)]/△x存在，则称这个极限值为f(x)在x0处的导数或变化率.通常可以记为f'(x0)或f'(x)|x=x0.
(1)利用定义求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：

　　① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)

　　② 求平均变化率

③ 取极限，得导数。

　　(2)几种常见函数的导数公式：

　　① C'=0(C为常数函数)

　　② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*)；熟记1/X的导数

　　③ (sinx)' = cosx

　　(cosx)' = - sinx

　　(tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2

　　-(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2

　　(secx)'=tanx·secx

　　(cscx)'=-cotx·cscx

　　(arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2

　　(arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2

　　(arctanx)'=1/(1+x^2)

　　(arccotx)'=-1/(1+x^2)

　　(arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2)

　　(arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2)

　　④(sinhx)'=coshx

　　(coshx)'=sinhx

　　(tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2

　　(coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2

　　(sechx)'=-tanhx·sechx

　　(cschx)'=-cothx·cschx

　　(arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2

　　(arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2

　　(artanhx)'=1/(x^2-1) (|x|<1)

　　(arcothx)'=1/(x^2-1) (|x|>1)

　　(arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2)

　　(arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2)

　　⑤ (e^x)' = e^x

　　(a^x)' = （a^x）lna （ln为自然对数）

　　(Inx)' = 1/x（ln为自然对数）

　　(logax)' =x^(-1) /lna(a>0且a不等于1)

　　(x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1)

　　(1/x)'=-x^(-2)

　　补充一下。上面的公式是不可以代常数进去的，只能代函数，新学导数的人往往忽略这一点，造成歧义，要多加注意。关于三角求导“正正余负”（三角包含三角函数，也包含反三角函数正指正弦、正切与正割。）

　　(3)导数的四则运算法则(和、差、积、商)：

　　①(u±v)'=u'±v'

　　②(uv)'=u'v+uv'

　　③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2

　　4．复合函数的导数：

　　复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。

　　5．积分号下的求导法

　　d(∫f(x,t)dt φ(x),ψ(x))/dx=f(x,ψ(x))ψ'(x)-f(x,φ(x))φ'(x)+∫[f 'x(x,t)dt φ(x),ψ(x)]

Answer 2

(xⁿ)'=nx^(n-1)

^表示指数，x^(n-1)表示x的n-1次方。