Question

求一道很难得数学题

单位正方体ABCD-A1B1C1D1，P是正方体表面上的点且AP=根号五÷2，求P的轨迹长度

Answer 1

（1）A所在的三个面的轨迹：圆心角为π/2-2arccot2，半径为√5/2的圆弧；
（2）A不在的三个面的轨迹：圆心角为π/2，半径为1/2的圆弧；
所以所求轨迹总长度为3×√5/2×(π/2-2arccot2)＋3×1/2×π/2=3(√5+1)π/4-3√5arccot2 =4.514562824

Answer 2

P的轨迹为以A为球心，根号2为半径的球面与正方体的交线。
这样的话，将在正方体三个面上有交线。由于球的对称性，肯定每个面都一样。
现在再看每个面上的轨迹形状。
例如P点在CDD1C1上。
AP×AP=2
=AD×AD+DP×DP
=1×1+DP×DP
于是DP=1.
P在以D为圆心，以1为半径的圆上。
轨迹长度为圆周长的1/4
总的轨迹长度
=3×(1/4)×2×π×1
=3π/2
=4.71

追问

半径不是根号五÷2吗？为什么是根号二啊？

Answer 3

解：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，设点P的坐标为（x,y,z）
则有 x^2+y^2+z^2=25/4
则球与正方体相交为1/4个球，又点P在正方体的表面上，所以点P 的轨迹为2个1/4的圆半径为根号5÷2，即点P 的轨迹为半径为根号5÷2的半圆，所以P的轨迹长度=3.14*根号5÷2

Answer 4

答案：3√5π/4
读作：4分之3倍根号5π

Answer 5

在一个面上，就是一个半径为2分之根5的四分之一圆，A点挨着三个面，所以长度为（3根号5）除以4倍的π

Answer 6

怎么不动脑啊