设a>0,b>o,a+b=1 求证：(a+1/a)²+（b+1/b)²≥25/2
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因为，2(a²+b²) = (a²+b²)+(a²+b²) ≥ (a²+b²)+2ab = (a+b)² = 1 ，
所以，a²+b² ≥ 1/2 ；
因为，(a+b)² = a²+b²+2ab ≥ 2ab+2ab = 4ab ，
所以，1/(ab) ≥ 4/(a+b)² = 4 ；
(a+1/a)²+(b+1/b)² = a²+b²+1/a²+1/b²+4 = (a²+b²)+(a²+b²)/(ab)²+4 ≥ 1/2+(1/2)*4²+4 = 25/2
所以，a²+b² ≥ 1/2 ；
因为，(a+b)² = a²+b²+2ab ≥ 2ab+2ab = 4ab ，
所以，1/(ab) ≥ 4/(a+b)² = 4 ；
(a+1/a)²+(b+1/b)² = a²+b²+1/a²+1/b²+4 = (a²+b²)+(a²+b²)/(ab)²+4 ≥ 1/2+(1/2)*4²+4 = 25/2
参考资料： http://zhidao.baidu.com/question/329543597.html
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