Question

已知实数a,b满足:关于x的不等式|x^2+ax+b|<=|2x^2-4x-16|对一切实数成立

1.a=-2,b=-8满足题意， 2.求出所有满足题意的a,b 3.若对一切x大于2，均有x^2+ax+b大于等于(m+2)x-m-15成立，求实数m的取值范围。

Answer 1

解析:(1)当a=-2,b=-8时，所给不等式左边=x2+ax+b|=|x2-2x-8|≤2|x2-2x-8|=|2x2-4x-16|=右边
∴此时所给不等式对一切x∈R成立
(2)注意到
2x2-4x-16=0
x2-2x-8=0
(x+2)(x-4)=0
x=-2或x=4
∴当x=-2或x=4时
|2x2-4x-16|=0
∴在不等式|x2+ax+b|≤|2x2-4x-16|中分别取x=-2，x=4得
又注意到(1)知当a=-2，b=-8时，所给不等式互对一切x
R均成立。∴满足题意的实数a,b只能a=-2,b=-8一组
(3)由已知不等式x2-2x-8≥(m+2)x-m-15
对一切x>2成立
x2-4x+7≥m(x-1)对一切x>2成立
①
令
②
则(1)
m≤g(x)的最小值
又当x>2时，x-1>0
(当且仅当
时等号成立)
∴g(x)的最小值为6(当且仅当x=3时取得)
③∴由②③得
m≤2
∴所求实数m的取值范围为(-∞，2]
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